Биполярная система координат

Биполярная система координат

Окружности Аполлония

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:

[math]\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} x=\frac{a\,\mathrm{sh}\,\tau}{\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma} \\ y=\frac{a\sin\sigma}{\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma} \end{matrix} \right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ 0\leqslant\sigma\lt \pi }[/math], [math]\displaystyle{ -\infty\lt \tau\lt \infty }[/math].

Коэффициенты Ламе:

[math]\displaystyle{ L_\tau=L_\sigma=\frac{a^2}{(\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma)^2}. }[/math]

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

[math]\displaystyle{ \Delta f=\frac{(\mathrm{ch}\,\tau-\cos\sigma)^2}{a^2}\left(\frac{\partial^2f}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2f}{\partial\tau^2}\right). }[/math]

В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.

См. также

• Тороидальные координаты
• Биангулярные координаты